Cevap :
Cevap:
Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Önermeler genellikle “p, q, r, s, t” gibi küçük harflerle gösterilir.
Bir ifadenin önerme olabilmesi için kesin hüküm bildirmesi gerekir. Önemli olan ifadenin doğru veya yanlış olması değil, doğruluğu ve yanlışlığında herkesin hemfikir olabilmesidir.
ÖRNEK: Aşağıdaki ifadelerin önerme olup olmadıklarını inceleyelim.
► “Ali’nin boyu uzundur.” ifadesi önerme değildir.
Çünkü uzun olmanın bir ölçütü yoktur.
► “Sevgi’nin boyu 172 cm’dir.” ifadesi önermedir.
Çünkü Sevgi’nin boyu ölçülüp 172 cm olup olmadığı belirlenebilir.
► “Türkiye’nin başkenti Ankara’dır.” ifadesi bir önermedir.
Çünkü başkentin Ankara olup olmadığı belirlenebilir.
► “Ferhat başarılı bir öğrencidir.” ifadesi önerme değildir.
Çünkü başarının ölçütü belli değildir.
ÖNERMENİN DOĞRULUK DEĞERİ
Önermelerin bildirdiği hükmün doğru ya da yanlışlığına önermenin doğruluk değeri adı verilir. Bir önerme doğru ise doğruluk değeri “D” veya “1” ile, yanlış ise “Y” veya “0” ile gösterilir.
Bir p önermesi doğru ise p ≡ 1, yanlışsa p ≡ 0 olarak ifade edilir.
ÖRNEK: Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulalım.
► p: “3 + 2 = 5 olur.” önermesi doğrudur.
Bu durum p ≡ 1 şeklinde gösterilir.
► q: “İstanbul bir ülkedir.” önermesi doğru değildir.
Bu durum q ≡ 0 şeklinde gösterilir.
► r: “7 asal sayıdır.” önermesi doğrudur.
Bu durum r ≡ 1 şeklinde gösterilir.
DOĞRULUK DEĞER SAYISI ve DOĞRULUK TABLOSU
n tane farklı önermenin, birlikte 2n tane farklı doğruluk değeri vardır. Önermelerin doğruluk değerlerinin gösterildiği tabloya doğruluk tablosu denir.
► Bir p önermesinin 2 (21) tane doğruluk değeri vardır. Doğruluk değeri tabloda aşağıdaki şekilde gösterilir.
p
D veya 1
Y veya 0
► p ve q gibi iki önermenin 4 (22) tane doğruluk değeri vardır.
p q
1 1
1 0
0 1
0 0
► p, q, r gibi üç önermenin 8 (23) tane doğruluk değeri vardır.
p q r
1 1 1
1 1 0
1 0 1
1 0 0
0 1 1
0 1 0
0 0 1
0 0 0
ÖRNEK: 5 farklı önermenin kaç tane doğruluk değeri olduğunu bulalım.
5 önerme olduğu için doğruluk değer sayısı 25 = 32 olur.
DENK ÖNERMELER
Doğruluk değerleri aynı olan önermelere denk önermeler denir. p ve q önermelerinin doğruluk değerleri aynı ise bu durum p ≡ q şeklinde gösterilir ve “p denktir q” şeklinde okunur.
ÖRNEK: Aşağıdaki önermelerin doğruluk değerlerini bulup denklik durumlarını inceleyelim.
p: “Bir yıl 12 aydır.”
q: “En küçük asal sayı 3’tür.”
r: “İstanbul Karadeniz bölgesinde değildir.”
s: “5’in karesi 10’dur.”
p ve r önermesi doğrudur. q ve s önermeleri yanlıştır.
p ≡ 1 , r ≡ 1 , q ≡ 0, s ≡ 0 olduğu için denk önermeler p ≡ r ve q ≡ s olarak bulunur.
BİR ÖNERMENİN DEĞİLİ (OLUMSUZU)
Bir önermenin hükmünün değiştirilmesiyle elde edilen yeni önermeye bu önermenin değili
(olumsuzu) denir. p önermesinin değili p’ ya da ∼ p ile gösterilir.
Bir önerme doğru ise değili yanlış, yanlış ise değili doğru olur.
1’in değili 0’dır. → 1′ ≡ 0
0’ın değili 1’dir. → 0′ ≡ 1
Bir önermenin değilinin değili kendisidir. → (p’)’ ≡ p
ÖRNEK: Aşağıdaki önermelerin değillerini ve doğruluk değerlerini yazalım.
p: “12 sayısı çift bir sayıdır.” önermesi doğrudur. p ≡ 1
p’: “12 sayısı çift bir sayı değildir.” önermesi yanlıştır. p’ ≡ 0
q: “KAR kelimesi 4 harflidir.” önermesi yanlıştır. q ≡ 0
İki veya daha fazla önermenin ve, veya, ya da, ise, ancak ve ancak bağlaçları ile birleştirilmesiyle elde edilen yeni önermelere bileşik önerme denir.
Dilimizde kullandığımız bağlaçlardan bazıları mantıkta da kullanılmaktadır. Önermeleri bu bağlaçlar ile birleştirerek birleşik önerme elde ederiz.
“VE” BAĞLACI ( ∧ )
p ile q önermelerinin “ve” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p ve q önermesi denir ve p ∧ q biçiminde gösterilir.
p ∧ q önermesi, önermelerin her ikisi de doğru iken doğru, diğer durumlarda yanlıştır. Ve bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
p ∧ q Doğruluk Tablosu
p q p ∧ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri “ve” bağlacı ile birleştirelim.
p: “2 asal sayıdır.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)
q: “2 tek sayıdır.” önermesi yanlıştır. (q ≡ 0)
p ∧ q: “2 asal sayıdır ve tek sayıdır.” önermesi yanlıştır. (p ∧ q ≡ 0)
ÖNEMLİ NOTLAR
✓ p ∧ p’ ≡ 0
✓ p ∧ 0 ≡ 0
✓ p ∧ 1 ≡ p
“VE” BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
Tek Kuvvet Özelliği
Her p önermesi için p ∧ p ≡ p olur.
Doğruluk tablosu için tıklayınız.
Değişme Özelliği
Her p ve q önermeleri için p ∧ q ≡ q ∧ p olur.
Doğruluk tablosu için tıklayınız.
Birleşme Özelliği
Her p, q, r önermesi için (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) olur.
Doğruluk tablosu için tıklayınız.
Dağılma Özelliği
Her p, q ve r önermeleri için “ve” bağlacının “veya” üzerine dağılma özelliği aşağıdaki gibidir.
► “ve” bağlacının “veya” bağlacı üzerine soldan dağılma özelliği
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
► “ve” bağlacının “veya” bağlacı üzerine sağdan dağılma özelliği
(q ∨ r) ∧ p ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
“VEYA” BAĞLACI ( ∨ )
p ile q önermelerinin “veya” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p veya q önermesi denir ve p ∨ q biçiminde gösterilir.
p ∨ q önermesi, önermelerin her ikisi de yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. Veya bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
p ∨ q Doğruluk Tablosu
p q p ∨ q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri “veya” bağlacı ile birleştirelim.
p: “İstanbul bir ildir.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)
q: “İstanbul başkenttir.” önermesi yanlıştır. (q ≡ 0)
p ∨ q: “İstanbul bir ildir veya başkenttir.” önermesi doğrudur. (p ∨ q ≡ 1)
ÖNEMLİ NOTLAR
✓ p ∨ p’ ≡ 1
✓ p ∨ 0 ≡ p
✓ p ∨ 1 ≡ 1
“VEYA” BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
Tek Kuvvet Özelliği
Her p önermesi için p ∨ p ≡ p olur.
Doğruluk tablosu için tıklayınız.
Değişme Özelliği
Her p ve q önermeleri için p ∨ q ≡ q ∨ p olur.
Doğruluk tablosu için tıklayınız.
Birleşme Özelliği
Her p, q, r önermesi için (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) olur.
Doğruluk tablosu için tıklayınız.
Dağılma Özelliği
Her p, q ve r önermeleri için “veya” bağlacının “ve” üzerine dağılma özelliği aşağıdaki gibidir.
► “veya” bağlacının “ve” bağlacı üzerine soldan dağılma özelliği
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
► “veya” bağlacının “ve” bağlacı üzerine sağdan dağılma özelliği
(q ∧ r) ∨ p ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
“YA DA” BAĞLACI ( ⊻ )
p ile q önermelerinin “ya da” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye p ya da q önermesi denir ve p ⊻ q biçiminde gösterilir.
p ⊻ q önermesi, önermelerin doğruluk değerleri farklı iken doğru, aynı iken yanlıştır. Ya da bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
p ⊻ q Doğruluk Tablosu
p q p ⊻ q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri “ya da” bağlacı ile birleştirelim.
p: “5 doğal sayıdır.” önermesi doğrudur. (p ≡ 1)
q: “5 asal sayıdır.” önermesi doğrudur. (q ≡ 1)
p ⊻ q: “5 doğal sayıdır ya da asal sayıdır.” önermesi yanlıştır. (p ⊻ q ≡ 0)
ÖNEMLİ NOTLAR
✓ p ⊻ p’ ≡ 1
✓ p ⊻ p ≡ 0
✓ p ⊻ 1 ≡ p’
✓ p ⊻ 0 ≡ p
“YA DA” BAĞLACININ ÖZELLİKLERİ
Değişme Özelliği
Her p ve q önermeleri için p ⊻ q ≡ q ⊻ p olur.
Doğruluk tablosu için tıklayınız.
Birleşme Özelliği
Her p, q, r önermesi için (p ⊻ q) ⊻ r ≡ p ⊻ (q ⊻ r) olur.
Doğruluk tablosu için tıklayınız.
DE MORGAN KURALLARI
p ve q nun değili → (p ∧ q)’ ≡ p’ ∨ q’
p veya q nun değili → (p ∨ q)’ ≡ p’ ∧ q’
şeklinde verilen kurallara De Morgan Kuralları denir.
“İSE” BAĞLACI ( ⇒ )
p ile q önermelerinin “ise” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye koşullu önerme denir ve p ⇒ q (p ise q) biçiminde gösterilir.
p ⇒ q önermesi p doğru, q yanlış iken yanlış, diğer durumlarda doğrudur. İse bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
p ⇒ q Doğruluk Tablosu
p q p ⇒ q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
ÖRNEK: Sınıf başkanlığı seçiminde Pelin “Başkan seçilirsem sınıf temiz olur.” demiş olsun. Bu cümlede sınıfın temiz olma koşulu başkan seçilmek olduğu için bu önerme koşullu önermedir.
p: “Pelin başkan seçilir.”
q: “Sınıf temiz olur.”
p ⇒ q: “Pelin başkan seçilir ise sınıf temiz olur.” önermesi doğrudur.
p ⇒ q önermesi p’ ∨ q önermesine denktir.
ÖRNEK: (p ⇒ q’) ∨ q önermesinin doğruluk değerini bulalım.
≡ (p’ ∨ q’) ∨ q [isenin veya denkliği uygulandı]
≡ p’ ∨ (q’ ∨ q) [birleşme özelliği uygulandı]
≡ p’ ∨ 1
≡ 1
ÖNEMLİ NOTLAR
✓ p ⇒ p ≡ 1
✓ p ⇒ 0 ≡ p’
✓ 0 ⇒ p ≡ 1
✓ p ⇒ 1 ≡ 1
✓ 1 ⇒ p ≡ p
Önermenin karşıtı, tersi, karşıt tersi
p ve q önermeleri ile oluşturulan p ⇒ q koşullu önermesine göre;
p ⇒ q önermesinin karşıtı q ⇒ p ,
p ⇒ q önermesinin tersi p’ ⇒ q’ ,
p ⇒ q önermesinin karşıt tersi q’ ⇒ p’ olur.
ÖRNEK: p: “İlker çalışkan bir öğrencidir.” ve q: “İlker başarılı bir öğrencidir.” önermeleriyle p ⇒ q koşullu önermesini, karşıtını, tersini ve karşıt tersini yazalım.
p ⇒ q: “İlker çalışkan bir öğrenciyse başarılı bir öğrencidir.”
q ⇒ p: “İlker başarılı bir öğrenciyse çalışkan bir öğrencidir.” (KARŞIT)
p’ ⇒ q’: “İlker çalışkan bir öğrenci değilse başarılı bir öğrenci değildir.” (TERS)
q’ ⇒ p’: “İlker başarılı bir öğrenci değilse çalışkan bir öğrenci değildir.” (KARŞIT TERS)
p ⇒ q önermesi karşıt tersi olan q’ ⇒ p’ önermesine denktir.
“ANCAK VE ANCAK” BAĞLACI ( ⇔ )
p ile q önermelerinin “ancak ve ancak” bağlacı ile bağlanmasıyla elde edilen bileşik önermeye iki yönlü koşullu önerme denir ve p ⇔ q (p ancak ve ancak q) biçiminde gösterilir.
p ⇔ q önermesi önermeler aynı doğruluk değerine sahipken doğru, diğer durumlarda yanlıştır. Ancak ve ancak bağlacı doğruluk tablosu aşağıdaki gibidir.
p ⇔ q Doğruluk Tablosu
p q p ⇔ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
ÖRNEK: Aşağıdaki önermeleri “ancak ve ancak” bağlacı ile birleştirelim.
p: “24 çift bir sayıdır.” (p ≡ 1)
q: “24 sayısı 2’ye tam bölünür.” (q ≡ 1)
p ⇔ q: “24 sayısı çift bir sayıdır ancak ve ancak 2’ye tam bölünür. (p ⇔ q ≡ 1)
ÖNEMLİ NOTLAR
✓ p ⇔ p ≡ 1
✓ p ⇔ p’ ≡ 0
✓ p ⇔ 1 ≡ p
✓ p ⇔ 0 ≡ p’
✓ p ⇔ q ≡ q ⇔ p
✓ p ⇔ q ≡ (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
ÇÖZÜMLÜ ÖRNEK SORULAR
Aşağıdaki soruları çözebilmek için ve, veya, ya da bağlaçlarının özelliklerini, önemli notlar kısımlarındaki denklikleri ve de morgan kuralını bilmeniz gerekmektedir.
ÖRNEK 1: (0′ ∧ p) ∧ (s ∧ s’) önermesinin doğruluk değerini bulalım.
≡ (1 ∧ p) ∧ (s ∧ s’)
≡ (1 ∧ p) ∧ 0
≡ p ∧ 0
≡ 0
ÖRNEK 2: (p ∨ q’) ∨ (p’ ∨ q) önermesinin doğruluk değerini bulalım.
≡ (p ∨ p’) ∨ (q’ ∨ q) [değişme ve birleşme özelliği uygulandı]
≡1 ∨ 1
≡ 1
ÖRNEK 3: (p ∧ q’) ∨ p’ önermesinin en sade halini bulalım.
≡ (p ∨ p’) ∧ (q’ ∨ p’) [sağdan dağılma özelliği uygulandı]
≡ 1 ∧ (q’ ∨ p’)
≡ q’ ∨ p’
ÖRNEK 4: (p’ ∧ q)’ ∨ q önermesinin doğruluk değerini bulalım.
≡ (p ∨ q’) ∨ q [de morgan uygulandı]
≡ p ∨ (q’ ∨ q) [birleşme özelliği uygulandı]
≡ p ∨ 1
≡ 1
ÖRNEK 5: (1 ⊻ q’) ∨ (1 ⊻ 1) önermesinin en sade halini bulalım.
≡ (1 ⊻ q’) ∨ 0
≡ q ∨ 0
≡ q