Cevap:
[tex]2\sqrt{2}[/tex]
Adım adım açıklama:
Öncelikle doğru denklemlerini yazalım. 2 doğru da [tex](0,7)[/tex] noktasından geçtiği için, başka bir deyişle x=0 iken y=7 oluyorsa, doğru denklemlerindeki sabit terim 7'dir.
[tex]d_1: y = ax+7[/tex] ve [tex]d_2:y=bx+7[/tex] diyelim.
Öncelikle A noktasının koordinatlarını bulalım.
A noktası doğru ve parabolün kesiştiği tek nokta olduğu için oluşacak denklemde diskriminant 0 olmalıdır ( başka bir deyişle, çift katlı kök olmalıdır). Şimdi gelelim denklem kısmına;
[tex]ax+7=-x^2+x+6[/tex] eşitliğini sağlayan pozitif ( çünkü A noktasının "x" koordinatı pozitif tarafta) x değeri, A noktasının "x" koordinatını verir. Gelelim denklem çözmeye;
[tex]ax+7=-x^2+x+6\\x^2+x(a-1)+1=0\\\\\Delta=b^2-4ac=0=(a-1)^2-4.1.1\\(a-1)^2-4=0\\(a-1)=2,(a-1)=-2[/tex]Burada [tex]a[/tex]'nın negatif değerini alacağız çünkü [tex]d_1[/tex] doğrumuzda x değeri arttıkça y değeri küçülüyor. Dolayısıyla
[tex]a-1=-2\\a=-1[/tex] olmalıdır. Böylelikle [tex]d_1: y=-x+7[/tex] olur.
[tex]x^2+x(a-1)+1=0[/tex] denklemine geri dönersek ve güncellersek;
[tex]x^2+x(a-1)+1=0\\x^2+x(-1-1)+1=0\\x^2-2x+1=0\\(x-1)^2=0\\x=1[/tex] gelir. Doğru denkleminde yerleştirirsek;
[tex]y=-x+7\\y=-1+7=6[/tex] gelir. Böylelikle [tex]A=(1,6)[/tex] gelir.
Benzer işlemleri [tex]d_2[/tex] doğrusu ve B noktası için yapalım.
[tex]bx+7=-x^2+x+6\\x^2+x(b-1)+1=0\\Delta=b^2-4ac=0=(b-1)^2-4.1.1\\(b-1)^2-4=0\\(b-1)=2,(b-1)=-2[/tex]Bu sefer b için pozitif değeri almalıyız çünkü artan x değerleri için y değeri de artmaktadır. O halde
[tex]b-1=2\\b=3[/tex] olmalıdır. Böylelikle [tex]d_2: y=3x+7[/tex] olur.
[tex]x^2+x(b-1)+1=0[/tex] denklemine geri dönersek ve güncellersek;
[tex]x^2+x(b-1)+1=0\\x^2+x(3-1)+1=0\\x^2+2x+1=0\\(x+1)^2=0\\x=-1[/tex]gelir. Doğru denklemine koyarsak;
[tex]y=3x+7\\y=3.-1+7=-3+7=4[/tex] elde ederiz. Yani [tex]B=(-1,4)[/tex] olur.
[tex]A=(1,6)[/tex] ve [tex]B=(-1,4)[/tex] ise aralarındaki mesafe;
[tex]\sqrt{B-A} =\sqrt{(-1,4)-(1,6)}=\sqrt{(-2,-2)} =\sqrt{(-2)^2+(-2)^2}\\=\sqrt{4+4} \\=\sqrt{8} =2\sqrt{2}[/tex]gelir.
