Cevap:
x -2arctan(x/2) + ln(x+2) + c
Adım adım açıklama:
[tex]\int {\frac{x^3 + 4x^2 + 8 }{x^3 + 2x^2 + 4x + 8} } \, dx[/tex]
[tex]\int \frac{x^3 +2x^2 + 2x^2 + 8}{(x+2)(x^2+4)} \, dx\\\\\int \frac{x^2(x+2)+ 2(x^2 + 4)}{(x+2)(x^2+4)} \, dx\\\\\int {\frac{x^2(x+2)}{(x+2)(x^2+4)} } \, dx +\int {\frac{2(x^2+4)}{(x+2)(x^2+4)} } \, dx \\\\\int {\frac{x^2}{x^2+4} } \, dx+ \int {\frac{2}{x+2} } \, dx\\\\\int {\frac{x^2+4-4}{x^2+4} } \, dx+ \int {\frac{2}{x+2} } \, dx\\\\\int {1} \, dx -\int {\frac{4}{x^2+4} } \, dx+ \int {\frac{2}{x+2} } \, dx[/tex]
İkinci integral için x = 2tany dönüşümü yaparsak:
dx = 2sec²y.dy
x² = 4tan²y
Ayrıca birinci integralin sonucu x + c ve ikinci integralin sonucu da 2ln(x+2) + c (c herhangi bir sabit sayı)
[tex]-\int \frac{4.2sec^2y}{4tan^2y + 4} \, dy + x+ ln(x+2) + c\\\\-\int {\frac{2sec^2y}{tan^2 + 1} } \, dy + x + ln(x+2) + c\\ \\-\int {\frac{2sec^2y}{sec^2y} } \, dy + x + ln(x+2) + c\\\\-\int {2} } \, dy +x + ln(x+2) + c\\\\-2y +x + ln(x+2) + c[/tex]
x = 2tany idi. O zaman:
x/2 = tany
arctan(x/2) = arctan(tany) = y olur.
Yani sonuç:
x -2arctan(x/2) + ln(x+2) + c
