Cevap :
SORU: A- ( B U C ) = (A-B ) ∩ ( A-C ) eşitliğinin doğruluğunu gösterelim.
ÇÖZÜM: A-(B U C) = A∩ (B U C) '
= A ∩( B ∩ C' ) (A-B = A ∩ B' olduğundan)
= (A ∩ A) ∩ (B' ∩ C') ( De morgan kuralı )
= (A ∩ B') ∩ (A ∩ C') ( Tek kuvvet özeliği )
= (A-B) ∩ (A-C) bulunur. (kesişim işlemi birleşme özeliği)
SORU: ( A-B )' kümesinin A' U B kümesine eşit olduğunu bulalım.
ÇÖZÜM: ( A - B )' = ( A ∩ B' )'
= A' U ( B' )' ( ( A - B ) = A ∩ B' idi )
= A' U B Olur. ( De morgan kuralı )
= ( A - B )' = A' U B Olur.
SORU: A ve B iki kümedir. s( A ) = 2 . s( B ) , s( A - B ) = 10 ve A ∩ B kümesinin Alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre,B kümesinin eleman sayısını bulalım .
ÇÖZÜM : A ∩ B kümesinin alt kümelerinin sayısı 64 olduğuna göre,
2n = 64 = 26 Þ n = 6 bulunur. = 10 + 6 = 16 olur.
s( A ∩ B ) = 6 olur. s( A ) = 2 . s ( B )
s( A ) = s( A – B ) + s ( A ∩ B ) 16 = 2 . s( B ) Þ s( B ) = 8 bulunur.
SORU: s( A ) = 10 , s( B ) = 9 , s ( A U B ) = 15 ise s ( A - B )’yi bulalım
ÇÖZÜM : s( A ∩ B ) = x olsun A B
s( A U B ) = s( A ) + s( B ) -s( A ∩ B )
15 = 10 + 9 – x
x = 4 olur.
s( A – B ) = s( A ) – s( A ∩ B )
= 10 – 4 = 6 olur.
SORU: Bir turist gurubu Almanca ve İngilizce dillerinden en az birini bilenlerden oluşmuştur. Grubun % 60’ı almanca, % 80’ni ingilizce biliyor.Grupta her iki dili konuşan 8 kişi vardır. Bu turist grubunda kaç kişi vardır?
ÇÖZÜM: Grubu 100 kişi kabul edelim
s( A U İ ) = s( A ) + s( İ ) - s( A ∩ İ ) 40 8 kişi karşılık gelirse
100 = 60 + 80 - s( A ∩ İ ) 100 X kişi karşılık gelir.
Þ s( A ∩ İ ) = 40 x = 100 ٠ 8 = 20
40
SORU: İngizce veya Almanca dillerinden en az birinin bilindiği 34 kişilik bir turist grubunda sadece İngilizce bilenlerin sayısı, her iki dili bilenlerin 4 katından 1 fazladır. Bu grupta İngilizce bilen en fazla kaç kişi vardır?
ÇÖZÜM: A X + Y + Z = 34
X = 4Y + 1
X + Y + Z = 4Y + 1 + Y + Z = 5Y + Z + 1 = 34
5Y=33-Z Z en küçük olduğunda ingilizce
bilenler en fazla olur.O halde Z=3 olmalıdır.
Z = 3 Þ 5Y = 33 - 2 = 33 - 3 = 30 Þ Y = 0
En fazla İngilizce bilenlerin sayısı : X + Y = 4Y + 1 + Y = 5Y + 1 = 5٠6 + 1 = 31’dir.
SORU : 40 kişik bir grupta, 8 kişi futbol ve basketbol oynamaktadır.30 kişi bu oyunlardan en az birini oynamaktadır. Futbol oynayanların sayısı basketbol oynayanların sayısından 6 fazladır. Bu grupta futbol oynamayan kaç kişi vardır.
ÇÖZÜM :
Grup x + y + z + t = 40 kişi
Futbol ve Basketbol oynayan y = 8 kişi
Futbol ve Baketboldan en az birini oynayanlar x + y + z = 30kişi
Futbol oynayanlar (x + y ) basketbol oynayanlardan
( y + 2 ) den 6 fazladır.
X + Y = Y + Z + 6 Þ X - Z = 6 X + Y + Z + t = 40 Þ t = 10
X + Y + Z = X + 8 + Z = 30 Þ X + Z = 22 futbol oynamayan
X – Z = 6 Þ Z = 8 Z + t = 8 + 10 =18 kişidir.
X + Z = 22
SORU : P( X , Y ) : 2x - 3Y < 5 açık önermesinin P( - 2 , 1 ) için doğruluk değerlerini bulalım.
ÇÖZÜM: 2x - 3Y < 5 açık önermesinde , x = - 2 ve Y = 1 yazalım.
2 ( - 2 ) – 3 . 1 < 5 Þ - 4 – 3 < 5 Þ - 7 < 5 doğru olduğundan
P( X , Y ) açık önermesinin doğruluk değerleri 1 dir.
SORU : ( A I B' ) U ( A I B ) ifadesini en sade biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A I B' ) U ( A I B ) = A I ( B' U B )
= A I E
= A' olur.
SORU: A - ( B I C ) = ( A – B ) U ( A – C ) olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM: A - ( B I C ) = A I ( B I C )'
= A I ( B' U C' )
= ( A I B' ) U ( A I C' )
=(A – B) U (A – C) olur.
SORU: ( A U B ) - ( A – B ) kümesini en sade biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A U B ) - ( A - B ) = ( A U B ) I ( A I B' )' ( C - D ) = (C I D' )
= ( A U B ) I ( A' U B ) ( De morgan )
= ( A I A' ) U B ( A I A' = Æ )
= B ( B U Æ = B )
SORU: ( A I B' ) U ( A U B' ) = B - A olduğunu gösterelim.
ÇÖZÜM: ( A I B' ) C ( A U B' ) = A U B' olur.
Buna göre, C' = ( A U B )' = A I ( B')'
= A I B' = B I A' = B - A olur.
SORU: ( A I B ) U ( A / B ) kümesini en kısa biçimde yazalım.
ÇÖZÜM: ( A I B ) U ( A I B' ) = ( A I B ) U ( A I B' )
= ( A I ( B U B' ) = A bulunur.
SORU:Bir turist grubunda Almanca, İngilizce, ve Fransızca dillerinden en az biri bilinmektedir. Almanca bilen 18, İngilizce bilen 20 , Fransızca bilen 15, Almanca ve Fransızca bilen 6,Almanca ve İngilizce bilen 3, Almanca , Fransızca,İngilizce dillerinin
Her üçünüde bilen 2 kişidir. Turist grubu 41 kişi ise İngilizce ve Fransızca bilen kaç kişidir.
ÇÖZÜM: s( A U İ U F) = 41 , s( A ) = 18 , s( İ ) = 20 , s( F ) = 15
A= { Almanca bilenler } s( A I F ) = 6 , s( A I 1 ) = 3 , s( A I F I 1 ) = 2 ise
F = { Fransızca bilenler } s( 1 I F ) = ?
İ = { İngilizce bilenler } olmak üzere
s( A U I U F ) = s( A ) + s( I ) + s( F ) – s( A I 1 ) – s ( A I F ) – s(1 I F ) + s( A I 1 I F )
41 = 18 + 20 +15 + - 3 – 6 - s( I I F ) + 2
s( 1 I F ) = 5 ’ tir
SORU : E = { a , b , c , d , e , f } evrensel küme A = { a , c , e } ise A' kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM : A' = { b , d , f }
SORU : E ={ X : - 2 < X < 5 , X ∈ R } evrensel küme;
A = { X : │ X – 1 │ < 3 , X ∈ R } ise A kümesinin tümleyeni kümesini bulunuz.
ÇÖZÜM : │X-1│< 3 Þ - 3 < X – 1 < 3
- 2 < X < 4
-2 5 E
A’ = [ 4 , 5 ] U { - 2 }
-2 4 A
SORU : A = { a , b , c , d , e } B = { a , c , k , p } kümeleri için A B ve B A kümelerini bulunuz
ÇÖZÜM : A B ={ b , d , e }
B A = { k , p }
SORU : A B kümesinin 8 tane alt kümesi , B A kümesinin15 tane öz alt kümesi vardır. s( A U B ) = 12 ise A I B kümesinin 2 elemanlı kaç tane alt kümesi vardır?
ÇÖZÜM : A B
X Y Z s( A B ) = x , s( A I B ) =Y , s( B A) = Z olsun.
A B kümesinin 8 tane alt kümesi olduğundan
2x = 8 = 23 Þ x = 3
B A kümesinin 15 tane öz alt kümesi olduğundan;
22 – 1 = 15 Þ 22 =16 = 24 Þ Z = 4
s( A U B ) = X + Y + Z = 12
3 + Y + 4 =12 Þ Y = 5
A I B kümesinin 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı,
( 25 ) = 5.4 = 10 ‘dur
2
SORU : A B' kümesinin 7 tane özalt kümesi, A' I B kümesinin en çok bir elemanlı 6 alt kümesi ve s( A U B ) = 14 ise A I B' kümesi kaç elemanlıdır?
ÇÖZÜM : s( A B' ) = s( A I B ) = Y , 2y – 1 = 7 Þ y = 3
A B s( A' I B ) = s( A B ) = Z ,
X Y Z Z + 2 = 6 Þ 2 = 5
0 1
s( A U B ) = x + 3 + 5 = 14 Þ x = 6
s( A I B’ ) = s( A B ) =6