Benzer sekilde (2n + 7) = (9, 11, 13, ..., 2n + 7, ...) dizisi de aritmetik dizidir. Bunda ortak fark 2’dir.
(3− 4n) = (−1,− 5,− 9, ..., 3− 4n, ...) dizisi de bir aritmetik dizidir. Ortak farkı –4’tür.
Tahmin edilecegi üzere (an) (5) (5, 5, 5, ..., 5, ...) n a = = gibi sabit diziler de aritmetik dizidir, ortak farkı 0’dır.
Genel olarak, (an + b) aritmetik dizisinin ortak farkı a’dır diyebiliriz, neden oldugunu siz düsünün.
Soru 1.
dizisi bir aritmetik dizi midir? Öyleyse, ortak farkı kaçtır?
Çözüm: Eger aritmetik diziyse ardısık terimleri arasındaki fark sabit bir sayı olmalı, devamlı degismemeli.
Yanılmamak için 2’nci ve 1’inci terimin arasındaki farkla, 4’üncü ve 3’üncü terimler arasındaki farkları kıyaslamak yerine (n + 1)’inci ve n’ninci terimler arasındaki farka bakalım:
yani sabit oldugundan dizi aritmetik olup, ortak farkı 3’dür.
Soru 2.
dizilerinden hangisi veya hangileri bir aritmetik dizidir?
Çözüm: a ve b birer reel sayı olmak üzere cn = an + b genel terimine sahip her (cn ) dizisi aritmetiktir.
farkını hesaplayanlar cevabın her zaman a çıkacagını göreceklerdir. Bundan
dolayı aritmetik dizidir.
Hatta ortak farklar da sırasıyla
Fakat (cn) aritmetik dizi degildir. Çünkü a2 – a1 ile a3 – a2 farkları esit degildir. İnanmayan hesaplasın,görsün.
Bir aritmetik dizinin herhangi bir terimini bulmak:
Aritmetik dizilerin herhangi iki terimi veya herhangi bir terimiyle ortak farkı biliniyorsa, dizinin tüm terimleri bulunabilir.
Eni sonu iki bagımsız bilgiye ihtiyaç vardır. Çünkü terimler arasında asagıdaki gibi bir iliski vardır:
Yukardan da görüldügü gibi ilk terim ve ortak fark bilgisiyle bulunamayacak terim yok. Hatta birkaç oynamayla baska iliskiler de bulmak mümkün.
Örnegin,
.
Yani iki terim arasındaki fark, bu terimlerin indisleri farkı kadar d.
Anlayacagınız söyle bir esitlikten bahsedebiliriz:
Bu esitligi, çözümlerde sıkça kullanacagız.
Lütfen unutmayın. Ama (bilgi yelpazesi.net) unutmamak için ezberlemeye çalısmayın, neden böyle olduguna bir kez daha kafa yorun.
Soru 3. lk terimi a1 = 3, ortak farkı d = 2 olan bir aritmetik dizinin besinci terimini ve genel terimini bulunuz.
Çözüm: soruluyor. Bunların formüllerini yukarda çıkarmıstık
ve
Besinci terimi, genel terimi bulduktan sonra n’ye 5 vererek de bulabilirdik.
Soru 4. lk terimi a1 = -2, ortak farkı
Olan bir aritmetik dizinin 12’nci terimini bulunuz.
Çözüm:
Soru 5. lk terimi 2, ortak farkı
olan bir aritmetik dizinin kaçıncı terimi 3’tür?
Çözüm: Diyelim ki t’ninci terimi 3. O halde
esitligi çözülürse t = 5 bulunur.
Soru 6. Üçüncü terimi a3 = 1, ortak farkı
olan bir aritmetik dizinin kaçıncı terimi 5’tir?
Çözüm: Yine t’ninci terim olsun. O halde
esitligi çözülürse t = 15 bulunur.
Soru 7. lk terimi –3, son terimi –91 ve ortak farkı -4 olan sonlu aritmetik dizinin terim sayısı kaçtır?
Çözüm: Bunu sayılar dersinde ögrendigimiz terim sayısı formülünden de yapabiliriz ama oradan yapmayacagız.
Dizimiz n terimli olsun. O halde olur.
denklemi çözülürse n = 23 bulunur.
Soru 8. 14 ve 50 arasına, bu sayılarla birlikte aritmetik dizi olusturacak biçimde 11 terim daha yerlestirilirse bu dizinin 9’uncu terimi kaç olur?
Çözüm: 2 terim hali hazırda vardı, 11 terim daha geldi, etti 13 terim. O halde son durumda a1 =14 ve a13 = 50 oldu.
esitliginden 12d = 36 yani d = 13 bulunur.
Simdi sıra 9’uncu terimde
Soru 9. 8 ile 50 sayıları arasına, bu sayılarla aritmetik dizi olusturacak sekilde 62 terim yerlestirilirse, bu dizinin 19’uncu terimi kaç olur?
Çözüm: Var olan 2 terime 62 terim geldi ve dizimiz 64 terimli oldu. Su halde
esitliginden
bulunur.
Şimdi 19’uncu terimi hesaplayalım:
Soru 10. Bir aritmetik dizide
İse a19 kaçtır?
Çözüm: 26 12 a − a = (26 −12)d =14d oldugunu biliyoruz.
Degerleri yerlerine yazarak d’yi bulalım:
79 – 9 = 70 = 14d esitliginden d = 5 bulunur.
O halde
olur.
Simdi burada biraz soluklanalım. Buna degecek çünkü sonunda yukardaki soruyu 1 saniyede çözmeyi ögrenecegiz.
Aritmetik dizinin en karakteristik özelliklerinden biri de dizinin herhangi terimin, kendine esit uzaklıkta bulunan terimlerin aritmetik ortası oldugudur.
Bunu nerden mi çıkardık?
Dinleyin:
Bir aritmetik diziden herhangi bir terim seçelim, örnegin n’ninci terim olsun. Simdi de bu terime esit uzaklıkta iki terim daha alalım. Bunlar da örnegin (n – p)’ninci ve (n + p)’ninci terimler olsun.
Kanıtlamak istedigimiz esitlik:
oldugu rahatlıkla görülebilir. İşte bu yüzden bir önceki soruda
esitligine hemencecik ulasabilirdik.
Soru 11. Besinci terimi 17, 23’üncü terimi 47 olan bir aritmetik dizinin 14’üncü terimi kaçtır?
Çözüm: 14’üncü terimin 5’inci ve 23’üncü terimlere uzaklıkları esit oldugundan,
olmalıdır ki buradan a14 = 32 bulunur.
Soru 12. (an) bir aritmetik dizi,
ise a21 kaçtır?
Çözüm: 16’ıncı terimin 11 ve 21’inci terimlere uzaklıkları esit oldugundan yine aritmetik ortadan faydalanacagız.
Soru 13. (an) n a bir aritmetik dizi,
ise a17 kaçtır?
Çözüm
Soru 14. 2, loga 3, 8 sayıları bir aritmetik dizinin ardısık üç terimiyse a kaçtır?
Çözüm: loga 3 = 5 olmalı. O halde
Soru 15. 5, a, b, c, 13 sayıları bir aritmetik dizinin ardısık bes terimiyse a + b + c toplamı kaçtır?
Çözüm: 5 + 13 = a + c = 2b oldugundan a + c = 18 ve b = 9 olur. O halde cevap 27.
Soru 16.
olan bir aritmetik dizinin genel terimi nedir?
Çözüm:
Genel terim demek n’ninci terim demek oldugundan ve elimizde 5’inci terim oldugundan ikisi arasında bir baglantı (bilgi yelpazesi.net) kuracagız.
Soru 17.
olan bir aritmetik dizide a8 kaçtır?
Çözüm
