bir kümenin kuvvet kümesinde tanımlanan alt küme olma baglantısı
X ile Y iki küme olsun. Eğer X den Y üzerine birebir bir fonksiyon
varsa X ile Y ye aynı sayıda elemana sahiptir veya aynı kardinaliteye
sahiptir denir. Diğer bir deyişle, X in elemanları Y nin bütün
elemanları ile birebir eslenebiliyor ise X ile Y ye aynı kardinaliteye
sahiptir denir.
Bir X kümesine boş küme ile veya sabit bir n doğal sayısı için {1, 2,
...,n} kümesi ile aynı kardinaliteye sahipse sonludur denir. Aksi takdirde X
kümesine sonsuzdur denir. Boş küme ile aynı kardinaliteye sahip bir kümenin
kardinalitesi 0 dır denir ve {1, 2, ...,n} kümesi ile aynı
kardinaliteye sahip kümenin kardinalitesi n dir denir.
Bir küme IN doğal sayılar kümesi ile aynı kardinaliteye sahip ise
sayılabilir sonsuzlukta küme denir. Sonlu veya sayılabilir sonsuzlukta olan
kümeye sayılabilir küme, aksi halde sayılamayan küme denir.
Boş olmayan bir X kümesinin sonlu olduğunu varsayalım ve diyelim ki,
kardinalitesi yani eleman sayısı n olsun. Bu takdirde {1, 2, ...,n} kümesinden
X üzerine birebir bir f fonksiyonu var olacaktır. i=1,2,...,n için f(i)=xi
koymak suretiyle X i
{x1, x2, ...,xn} şeklinde indislenmis küme olarak yazabiliriz. Benzer şekilde
X sayılabilir sonsuzlukta ise IN den X üzerine birebir bir f
fonksiyonu bulunacağından, her i∈I için f(i)=xi yazmak suretiyle X
kümesini {x1,x2, ...,xn ,... } indislenmis kümesi ile temsil edebiliriz.
Herhangi bir I indis kümesi ile aynı kardinaliteye sahip bir X
kümesini gözönüne alalım. I dan X üzerine birebir bir f fonksiyonu var
olacağından, her i∈I için f(i)=xi yazmak suretiyle X kümesini
{ xi : i∈I } indislenmiş kümesi olarak alabiliriz.
Teorem 1.5.1. Sonlu bir kümenin her alt kümesi de sonludur.
İspat. X sonlu herhangi bir küme olsun. Bu takdirde, bos küme ile veya
sabit bir n doğal sayısı için {1, 2, ...,n} kümesi ile aynı kardinaliteye
sahip olacaktır. Eğer X=∅ ise, X in yegane alt kümesi sonlu bir küme olan
∅ dir. X≠∅ olsun. Bu takdirde X den, uygun sabit bir n doğal sayısı için,
{1, 2, ...,n} kümesi üzerine birebir bir f fonksiyonu vardır. X in