kesişim işleminin değişme özelliği ile ilğili sorular
Kümelerde Birleşim İşlemi ve Özellikleri
Sembol
birleşim işlemi, “ U ”
Örnek: A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3, 4} kümelerinin tüm elemanlarını bir araya getirerek yazalım:
Çözüm: {a, b, c, 1, 2, 3, 4} olur. Bu küme A ve B kümelerinin birleşim kümesidir
Kümelerde her eleman yalnız bir kez yazılır. İki kümenin birleşimi bu iki kümenin tüm elemanlarından oluşur. Birleşim işlemi “∪” sembolüyle gösterilir. A ve B gibi iki kümenin birleşimi sembolle “A ∪ B” biçiminde gösterilir,“A birleşim B” diye okunur.Örnek: Aşağıdaki Venn şemasına göre A, B ve A∪ B kümelerini yazalım. Ayrıca eleman sayılarını bulalım.
Çözüm: A = {1, 2, 3, 4, 5} s(A) = 5
B = {1, 2} s(B) = 2
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} s(A) = 5
Örnek: A = {a, b, c} ve B = {4, 5, 6} kümelerinin eleman sayıları arasındaki ilişkiyi inceleyelim
Çözüm: s(A) = 3 ve s(B) = 3’tür.
Ayrık küme: Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık küme denir.
Örnek: C = {z, t} ve D = {3, t, z} kümeleri veriliyor. C ∪D ve D∪C kümelerini bulup karşılaştıralım.
Çözüm: C ve D’nin ortak elemanları vardır. Bu elemanlar birleşim kümesine yalnız bir kez yazılmalıdır. O hâlde;
C ∪ D = {z, t} ∪ {3, t, z} = {z, t, 3} olur.
D ∪ C = {3, t, z} ∪ {z, t} = {3, t, z} olur.
Buradan, C ∪ D = D ∪ C olduğu görülür.
Örnek: Aşağıdaki şemayı ve birleşim işlemini inceleyelim:
Çözüm: B ∪ (C ∪ D)= {2, 3, 4} ∪ ({1, 2, 5} ∪ {5, 6})
= {2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5, 6}
= {2, 3, 4, 1, 5, 6} olur.
(B ∪ C) ∪ D= ({2, 3, 4} ∪ {1, 2, 5}) ∪ {5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5} ∪ {5, 6}
= {1, 2, 3, 4, 5, 6} olur. Buradan,
B ∪ (C ∪ D)= (B ∪ C) ∪ D olduğu görülür.
Kümelerde birleşim işleminin birleşme özelliği vardır.
Örnek: M = {m, n} ve P = { } kümeleri veriliyor. M∪P kümesini bulalım.
Çözüm: M∪ P = {m, n} ∪ { } = {m, n} olur.
Örnek: A = {1, 2, 3} kümesine eşit olan B kümesini yazalım.
Çözüm: Eşit olan kümeler aynı elemanlardan oluşacağından,
B = {1, 2, 3} olur.
Örnek: K = {x, y, z} olsun K ∪ K kümesini bulalım.
Çözüm: K∪ K= {x, y, z} ∪ {x, y, z}
= {x, y, z} olur.
Kümelerde Kesişim İşlemi ve Özellikleri
Örnek: A = {1, 2, 3, 4} ve B = {4, 3, 5, 6} kümelerinin ortak olan elemanlarını bulalım:
Çözüm: Bu elemanları küme olarak {3, 4} şeklinde gösterebiliriz.
Bulduğumuz bu küme, A ve B kümelerinin kesişimidir.
Örnek: A = {a, b, c} ve B = {e, f} kümeleri verilsin. A∩ B kümesini bulalım:
Çözüm: A ∩ B = {a, b, c} ∩ {e, f}= Ø olur.
Ortak elemanı olmayan kümelere ayrık kümeler denir.
Ayrık kümelerin kesişim kümesi boş kümedir.
Örnek: Yandaki şemaya göre K∩L kümesini bulalım.
Çözüm: K ve L kümelerinin ortak elemanlarının bulunduğu bölgeyi yukarıda boyalı gösterdik.
Buna göre K∩L = {4, 7} olur.
Sembol
kesişim işlemi, “ ∩ ”
Örnek: Aşağıdaki şemaya göre A, B ve A∩B kümelerini bulalım.
Çözüm: Şemaya göre; A = {4, 8},
B = {2, 4, 8, 7, 9, 11},
A∩B = {4, 8} ’dir.
Örnek: L = {s, t, u} ve K = { k, t, p, s} kümeleri veriliyor.
L∩K ve K∩L kümelerini bulalım.
Bu kümeleri karşılaştıralım.
Çözüm: L∩K = {s, t, u} ∩{k, t, p, s} = {s, t} olur.
K∩L = {k, t, p, s} ∩{s, t, u} = {t, s} olur.
Buradan,L∩K = K∩L olduğu görülür.
Örnek: A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 6} ve C = {4, 5, 6} kümeleri verilsin.
A∩(B∩C) ve (A∩B)∩C kümelerini bulalım.
Çözüm: Önce A, B, C kümelerini Venn şemasıyla gösterelim:
A∩(B∩C) = {1, 2, 3, 4} ∩ ({2, 3, 4, 6} ∩ {4, 5, 6})
= {1, 2, 3, 4} ∩ {4, 6}= {4} olur.
(A∩B)∩C = ({1, 2, 3, 4} ∩ {2, 3, 4, 6}) ∩ {4, 5, 6}
= {2, 3, 4} ∩ {4, 5, 6}= {4} olur.
Buradan, A∩(B∩C) = (A∩B)∩C olduğu görülür.
Örnek: Aşağıdaki şemaya göre s(A), s(B), s(A ∩ B)
ve s(A ∪ B) değerlerini bulalım.
Çözüm: A = {a, b, c, d, e} olduğundan s(A) = 5’tir.
B = {1, 2, 3, a, b, c} olduğundan s(B) = 6’dır.
A∩B ={a, b, c} olup s(A ∩B)= 3’tür.
A∪B ={a, b, c, d, e, 1, 2, 3} olup s(A∪B)= 8’dir.
Çözümlü Küme Problemleri
Problem 1 : Bir turist grubundakiler ingilizce ve Almanca dillerinden en az birini konuşabilmektedir.
Hem ingilizce hem de Almanca konuşanların sayısı 9, ingilizce konuşanların sayısı 15 ve Almanca konuşanların sayısı 24 olduğuna göre grupta kaç kişi vardır ?
Çözüm: ingilizce konuşanların kümesi İ olsun.
s(İ) = 15’tir.
Almanca konuşanların kümesine A dersek, s(A) = 24’tür.
Her iki dili konuşanların kümesi İ ∩ A ’dır.
s(İ ∩ A) = 9’dur.
Şimdi bu verileri Venn şemasında göstererek isteneni bulmaya çalışalım:
Turist grubunda, 6 + 9 + 15 = 30 kişi vardır.
Problem 2 : 30 kiflilik bir sınıftaki öğrencilerden bazıları yüzme veya voleybol kurslarına katılmaktadır.
Sadece yüzme kursuna katılanların sayısı 10, sadece voleybol kursuna katılanların sayısı 13 ve bu iki kursa devam etmeyen öğrencilerin sayısı 2 olduğuna göre hem yüzme hem de voleybol kursuna katılan öğrencilerin sayısı kaçtır?
Çözüm: Yüzme kursuna katılanların kümesi Y, voleybol kursuna katılanların kümesi V olsun.
Sadece yüzme kursuna katılanlar Y V, sadece voleybol kursuna katılanlar V Y olarak gösterilir.Bu verileri bir şemada gösterelim:
Hem yüzme hem de voleybol kursuna katılan öğrencilerin sayısı, 30 – (10 + 13 + 2) = 30 – 25= 5’tir.
ben bunu buldum inşallah yardımcı olmuıştur
